Het ontwikkelen van een simpel model om het verschil in temperatuur karakteristieken tussen de Maan en de Aarde te verklaren

Een Stefan-Boltzmann model voor planeten en hun satellieten

Het ontwikkelen van een simpel model om het verschil in temperatuur karakteristieken tussen de Maan en de Aarde te verklaren

Inleiding

Dit artikel introduceert een model waarmee de temperatuur karakteristieken van de Aarde en de Maan kunnen worden verklaard. Het begint met het basis model van Stefan-Boltzmann dat de verhouding tussen stralingsenergie en de temperatuur weergeeft. Dit is het welbekende black body model. Dit model wordt beginnend met de Maan van binnen naar buiten stapsgewijs uitgebouwd tot het uiteindelijk ook voor de Aarde geschikt is. Het is een simpel input-output model. De input is de hoeveelheid zonne-energie ook wel zonneconstante of TSI genaamd. De output is de temperatuur karakteristiek zijnde de T_dag(gemiddelde van de maximum temperaturen), de T_nacht(gemiddelde van de minimum temperaturen), de T_gemiddelde(het gemiddelde van T_dag en T_nacht) en de    T_verschil(het verschil tussen de T_dag en de T_nacht). De temperatuur karakteristieken van de Aarde en de Maan verschillen enorm. Dit komt door het verschil in eigenschappen van de Aarde en Maan. Deze worden in de vorm van variabelen aan het model toegevoegd. Twee van de drie variabelen zijn algemeen bekend namelijk albedo(weerkaatsing) en emissiviteit(mate van uitstraling). Ik heb er een derde variabele aan toegevoegd en dat is het bufferend vermogen b. Het bufferend vermogen bepaalt de mate waarin een planeet als de Aarde of een satelliet als de Maan in staat is om energie die in de vorm van zonne-energie op de dagkant wordt in gestraald door te geven aan de nachtkant. De zonne-energie wordt namelijk niet gelijkmatig verdeeld over het oppervlakte van Aarde of Maan. De dagkant krijgt alle zonne-energie en de nachtkant krijgt niets. De zonne-energie warmt het oppervlakte van de dagkant overdag op en koelt nachts weer af. Het komt er op neer dat overdag een buffer gevuld  wordt die nachts weer wordt vrij gegeven. De Aarde kan dit bufferen heel goed zodat het verschil tussen de T_dag en T_nacht klein is. De Maan kan dit veel minder goed. Gevolg is dat het verschil voor de Maan groot is. Ook blijkt dat de mate waarop een hemellichaam energie kan bufferen gevolgen heeft voor de gemiddelde temperatuur. Die wordt hierdoor hoger. Het door mij ontwikkeld model blijkt heel goed te werken. Het verschil  voor de Maan met de gemeten temperaturen is klein. Veel kleiner dan dat van het gangbare model dat er fors naast zit.

Om het model geschikt te maken voor de Aarde dient er een uitbreiding plaats te vinden. De Aarde heeft een atmosfeer. De Maan heeft dit niet. Toevoegen van de atmosfeer vermindert de hoeveelheid zonne-energie die aan de dagkant wordt ingestraald. Je krijgt er de albedo van de atmosfeer bij bovendien zal een atmosfeer een deel van de zonne-energie absorberen. Iedere atmosfeer zal dit doen. Toevoegen van atmosfeer betekent ook dat de uitstraling van het oppervlak naar de ruimte zal verminderen. Een deel van de uitgestraalde energie zal worden geabsorbeerd door de atmosfeer. Iedere atmosfeer zal dit doen. De mate waarop zal afhangen van de eigenschappen van de atmosfeer zoals de samenstelling er van. Toevoegen van de atmosfeer betekent dus een wijziging van de albedo, deze zal groter worden en wijziging van de emissiviteit, deze zal juist kleiner worden. Voegen wij deze wijzigingen toe aan het model dan blijkt het model prima in staat te zijn de temperatuur karakteristieken van de Aarde te verklaren. Hiermee is het uiteindelijk gelukt om een simpel model te construeren dat de temperatuur karakteristieken van de Aarde en de Maan prima kan verklaren. De grote verschillen tussen Aarde en Maan komen voort uit het verschil in eigenschappen. Als laatste stap heb ik mij aan enige speculaties gewaagd om te zien hoe het model omgaat met de opwarming van de Aarde. Hoe werkt dit door in de eigenschappen van de Aarde en klinkt dit ergens logisch? Het model lijkt goed overweg te kunnen met de opwarming van de Aarde. Misschien wel beter dan de theorie van het (versterkte) broeikaseffect. Ik heb wel is waar een variabele toegevoegd aan mijn model maar ik kan er meer mee verklaren. Daarmee voldoet mijn model aan de uitgangspunten van Ockhams scheermes dat extra variabelen alleen toegevoegd dienen te worden als dit een betere model oplevert voor het fenomeen dat je probeert te verklaren.

Inhoud

• Input van het model– zonne-energie
• Output van het model – temperatuur karakteristieken
• Eigenschappen – variabelen in het model
• Het gangbare model getoetst
• Op weg naar een beter model
• Toetsen van het nieuwe model voor de Maan
• Toevoegen van een atmosfeer
• Stresstest model plus minus 1 K
• Wat kan het model over de klimaatverandering vertellen
• Conclusies

Input van het model– zonne-energie

De input van het model is de hoeveelheid invallende zonne-energie. Deze bedraagt voor de Aarde en de Maan gemiddeld over het hele jaar genomen 1368 W/m² . De hoeveelheid varieert enigszins. Doordat de baan van de Aarde en dus ook de Maan om de zon geen cirkel is maar een ellips krijg je een verschil. Op de kortste afstand Aarde zon is de hoeveelheid zonne-energie een stuk groter dan op de langste afstand. Voor de Maan geldt dat hij om de Aarde draait. De afstand tussen Maan en zon is bij volle Maan groter dan bij Nieuwe Maan. Dit geeft een verschil in de hoeveelheid zonne-energie. Verder krijgt de Maan ook nog een klein beetje energie van de Aarde. Een volle Aarde op de Maan moet een spectaculair gezicht zijn. Verder is er nog een verschil in de hoeveelheid zonne-energie door toedoen van de zonnevlekkencyclus. Hoe dit alles precies een verschil maakt komt aan de orde in de bijlage Simulaties met het model.

Output van het model – temperatuur karakteristieken

De output van het model, dat gene dat verklaard dient te worden, is de temperatuur karakteristieken van de Aarde en de Maan. Deze karakteristieken zijn de T_dag(het gemiddelde van de T_max), de T_nacht(het gemiddelde van de T_min), de T_gem(het gemiddelde van T_dag en T_nacht) en T_verschil tussen T_dag en T_nacht. Dit is alles wat voor dit onderzoek relevant is.

De temperatuur karakteristieken van de Aarde zijn gemakkelijk te vinden. Die voor de Maan zijn een stuk moeilijker te vinden. Ik kom niet verder dan onderstaande grafiek van de website van de LRO project. Hier zal ik het mee moeten doen.

Figuur 1 Temperatuur van de Maan voor diverse breedtegraden

Uit dit figuur heb ik de volgende gegevens uitgelezen. Zie tabel 1. Hieruit kan ik met behulp van een simpele weging de temperatuur karakteristieken van de Maan afleiden.

Tabel 1 Temperatuur karakteristieken van de Maan uitlezen

De gegevens van de Maan combineer ik met die voor de Aarde. Zie tabel 2. Dan zie je precies wat er te verklaren valt. Met de zelfde input, de TSI, krijg je totaal verschillende output, de temperatuur karakteristieken. De verschillen tussen Aarde en Maan zijn heel groot.

Tabel 2. Temperatuur karakteristieken Aarde en Maan

Voor de Aarde geldt dat de verschillen tussen T_dag en T_nacht klein zijn en de T_gem hoog is. De Maan is totaal omgekeerd. Een groot verschil tussen dag en nacht en een gemiddelde temperatuur die laag is. De gevonden verschillen dienen verklaard te worden uit de verschillen in eigenschappen tussen Aarde en Maan en een model dat in staat is om dit grote verschil te verklaren.

Eigenschappen – variabelen in het model

De Aarde en de Maan hebben een heleboel eigenschappen. Maar voor dit onderzoek zijn we uitsluitend geïnteresseerd in die eigenschappen die volgens het model relevant zijn. Het model dat in dit onderzoek wordt gebruikt is het Stefan-Boltzmann model. Dit model geeft het verband aan tussen stralingsenergie en temperatuur. We gebruiken de variant voor een grey body. Want Aarde, Maan en zon benaderen weliswaar een black body(een volmaakte straler) maar zijn dit niet. Het model ziet er als volgt uit;

T = ⁴√ ((1-ɑ)E_in/εσ)     en        E_uit =  εσT⁴      in evenwicht geldt: E_in = E_uit

T = temperatuur oppervlakte in K

E_in = Zonne-energie TSI in W/m²

E_uit = Aardwarmte in het verre IR in W/m²

ɑ = weerkaatsing zonne-energie

ε = mate van uitstraling vergeleken met een black body

σ = de Stefan-Boltzmann constante

Hieruit volgen de twee eigenschappen die volgens het model relevant zijn voor het onderzoek en dat zijn ɑ (albedo) en  ε (emissiviteit). Deze gegevens zijn voor de Aarde en Maan in tabelvorm weer gegeven. Zie tabel 3.

Tabel 3 – Eigenschappen Aarde en Maan

De Aarde heeft, uiteraard, geen emissiviteit van 1. Deze waarde wordt gewoonlijk gebruikt ter illustratie dat de Aarde een broeikaseffect heeft. De werkelijke waarde is kleiner maar hoe hoog die is weet ik niet. Dit is lastig. In een volgende fase van het onderzoek zullen we zien dat dit niet zo heel veel uitmaakt. Voorlopig zullen we verder gaan met een emissiviteit van 1. Alle eigenschappen zijn nu bekend. Het model is bekend. De input is bekend. Tijd om de output te bepalen.

Het gangbare model getoetst

In het gangbare model zoals dit door de Klimatologen wordt gebruikt wordt de zonne-energie TSI=1368 W/m2 gelijk verdeeld over het oppervlak van de Aarde of Maan. Dat komt er op neer dat je een schijf zonne-energie verdeelt over het oppervlak van een bol. Het oppervlak van een schijf is π*R² . Het oppervlakte van een bol is 4π*R² .  De TSI deel je dan door 4. Dit klinkt een beetje vreemd. We weten allemaal dat er een dag-nacht-ritme is. Maar volgens de wetenschap is dit geen probleem. ”Trust me. I’m a scientist”. Laat ons kijken wat dit alles oplevert. We proberen het gangbare model eerst voor de Maan.

T_Maan = ⁴√ ((1-ɑ)TSI/4εσ)

TSI = zonne-energie = 1368 W/m²

ɑ = albedo (weerkaatsing) = 0,07

ε = emissiviteit = 0,96

σ = Stefan-Boltzmann constante = 5,6704 *10^-8

Dit levert een gemiddelde temperatuur op voor het oppervlakte van de Maan van 277 K. De gemeten temperatuur voor de Maan is echter veel lager namelijk 207 K. Dit is een groot verschil. Maar zo wil het verhaal, het Stefan-Boltzmann model kan alleen de effectieve temperatuur bepalen dus alsof de Maan een black body zou zijn. Voor een black body geldt ɑ = 0 en ε = 1. Als we dit invullen in het model dan is de effectieve temperatuur 279 K. En dit klopt net zo min. Hoe nu verder? Is het mogelijk dat het Stefan-Boltzmann model niet in staat is om de juiste temperatuur te voorspellen. Het valt mij moeilijk te geloven dat de knapste geleerden van hun tijd niets beters te doen hadden dan een model in elkaar te knutselen dat slechts een effectieve temperatuur kan bepalen die in geen enkele relatie staat met de echte temperatuur.

Maar laat ons eerst nog even kijken hoe het gangbare model omgaat met de Aarde. Voor de Aarde is de albedo 0,31 en de emissiviteit wordt meestal op 1 gesteld. Invullen in het model geeft voor de Aarde en effectieve temperatuur op van 254 K = -19°C. Dit is veel lager dan de gemeten waarde van 15°C. Het verschil wil het verhaal komt voor rekening van het natuurlijk broeikaseffect. Dit is een eigenschap van onze atmosfeer. Je ziet dat de waarde voor de emissiviteit van 1 dient ter illustratie voor het bestaan van het natuurlijk broeikaseffect. Maar we zagen ook dat het model voor de Maan ver uit de buurt lag van de werkelijke waarde. Hoe kunnen we dan voor de Aarde zo zeker zijn? Het antwoord is niet. Waar ligt het nu aan dat het gangbare model dat toch echt specifiek ontwikkeld is om het verband aan te geven tussen stralingsenergie en temperatuur er zo naast zit. Is het model fout of passen we het verkeerd toe. Daar over gaat de volgende paragraaf.

Op weg naar een beter model

Ons uitgangspunt is het black body model van Stefan-Boltzmann. Dit klopt in ieder geval. Dit model gaan we verder uitwerken voor planeten en hun satellieten. Deze hemellichamen hebben een bijzondere eigenschap. We beginnen de afleiding voor de Maan. De Maan is vergeleken met de Aarde veel eenvoudiger. Het heeft slechts een rots en stof oppervlakte, geen atmosfeer, oceaan, ijskappen of leven dat de zaak alleen maar ingewikkeld maakt door de vele terugkoppelingen die je kunt verwachten. Door ons tot de Maan te beperken wordt het iets eenvoudiger om een model af te leiden. Uitgangspunt is een simpel vaststaand feit: De schijf zonne-energie wordt niet gelijkmatig verdeeld over het oppervlakte. De dagkant krijgt alle zonne-energie en de nachtkant krijgt niets. Dit ziet er als volgt uit.

Figuur 2 Verdeling zonne-energie over de dagkant en nachtkant Maan

Hoe krijgt de nachtkant energie? 0 W/m² betekent volgens het Stefan-Boltzmann model 0 K en dat kan niet. De temperatuur kan 0 K benaderen maar nooit bereiken. Een heel klein beetje energie krijgt de nachtkant uit de achtergrondstraling van het universum. Deze heeft een temperatuur van 3 K. Dit komt overeen met een minuscule hoeveelheid energie van 5* 10^-6 W/m². Dat is vrijwel nihil. De echte temperatuur van de nachtkant van de Maan ligt een stuk hoger. De afleiding is voor de Maan heel simpel. De Maan draait ten opzichte van de zon om haar as. Alleen op deze wijze kan de Maan energie door geven van de dagkant naar de nachtkant. Dit maakt de Maan zo geschikt als uitgangspunt voor het ontwerpen van een model dat uitbreidbaar is naar de Aarde. De dagkant wordt overdag opgewarmd door het instralen van de zon. Daarna draait het oppervlak door naar de nachtkant en koelt af. Dit verloopt via de afkoelingscurve die er heel anders uitziet dan de opwarmingscurve. Het plaatje ziet er als volgt uit;

 

Figuur 3 Opwarming en afkoelingscurve voor de Maan

Een korte uitleg; Op een gemiddelde dag komt de zon op om 6 uur ’s morgens lokale tijd. De zon straalt in en de temperatuur stijgt. Om 12 uur bereikt de zon haar hoogste stand. Om of net iets na 12 uur bereikt de temperatuur op de Maan haar hoogste waarde, deze temperatuur is de T_max. Het gemiddelde van alle T_max noem ik de T_dag. Daarna gaat het afkoelen. Om 18 uur zal de zon ondergaan en blijven afkoelen tot de zon om 6 uur de volgende dag weer opgaat. De opwarming duurt van 6 uur tot 12 uur. De afkoeling duurt van 12 uur tot 6 uur de volgende ochtend. Om 6 uur ’s ochtend komt de zon weer op. Dan is de laagste temperatuur bereikt. Dan heeft het oppervlakte van de Maan nog maar heel weinig energie over. De temperatuur is de T_min. Het gemiddelde van alle T_min noem ik de T_nacht en de energie noem ik de E_nacht. De overdracht van energie van de dagkant naar de nachtkant verloopt door het proces van bufferen van de laag die onmiddellijk onder het oppervlakte ligt. De hoeveelheid gebufferde energie die op het tijdstip van zonsopkomst nog over is noem ik de buffer B. E_nacht is dan gelijk aan B en de energie voor de dagkant die ik E_dag noem is dan gelijk aan 0,5 maal de TSI minus B. De buffer B moet wel ergens vandaan komen. Een deel van de invallende zonne-energie wordt gebruikt om de buffer overdag op te laden. Deze energie is niet beschikbaar voor de opwarming van de dagkant. Vandaar de vorm van de formules:

I          E_nacht_in = B

II         E_dag_in = 0,5*TSI-B

Dit kun je ook op een andere manier formuleren en wel zo dat we de buffer B kunnen veranderen in de eigenschap bufferend vermogen b;

III       E_dag_in = (1-b)*0,5*TSI

IV       E_nacht_in = b*0,5*TSI

Aan dit basis model voeg ik dan de beide andere eigenschappen van de Maan namelijk albedo α en emissiviteit ε. Dan krijgen we de volgende formules voor ingaande energie en uitgaande energie;

V         E_dag_in = (1- α) * (1- b) * 0,5 * TSI

VI       E_nacht_in = (1- α) * b * 0,5 * TSI

VII      E_dag_uit = ε * σ * T_dag⁴

VIII    E_nacht_uit = ε * σ * T_nacht⁴

In een, in dit geval dynamisch, evenwicht geldt dat E_in gelijk is aan E_uit. We kunnen nu de formules V tot en met VIII combineren. Dit geeft de volgende twee formules;

IX       (1- α) * (1-b) * 0,5 * TSI = ε * σ * T_dag⁴

X         (1- α) * b * 0,5 * TSI = ε * σ * T_nacht⁴

Als we beide formules zo uitschrijven dat rechts alleen de term emissiviteit ε blijft staan kunnen we beide formules combineren en uit deze gecombineerde formule kunnen we een rekenformule vinden om bufferend vermogen b te verklaren. Dit ziet er als volgt uit;

XI       ((1- α) * (1-b) * 0,5 * TSI )/(σ * T_dag⁴)=((1- α) * b * 0,5 * TSI)/(σ * T_nacht⁴)

In deze formule staan een heleboel termen die tegen elkaar wegvallen. Wat je overhoudt ziet er als volgt uit;

XII      (1-b)/ T_dag⁴ = b/ T_nacht⁴

Dit kun je uitschrijven tot de volgende formule;

XIII    b/(1-b) = T_nacht⁴/T_dag⁴

We zijn er bijna uit. Alleen voor de liefhebbers;

als we T_nacht⁴/T_dag⁴ = iets invullen krijgen we;

b/(1-b)=iets/1 <=>

b=iets(1-b)      <=>

b=iets-b*iets   <=>

b+iets*b=iets <=>

b(1+iets)=iets <=>

b=iets/(1+iets) <=>

Dit laat zich herleiden tot de volgende formule voor het bepalen van het bufferend vermogen b;

XIV    b = (T_nacht⁴/T_dag⁴ ) / (1+ T_nacht⁴/T_dag⁴ ) en 0 < b < 0,5

De T_nacht is het gemiddelde van de gemeten T_min( de minimum temperaturen) van de Maan en T_dag is het gemiddelde van de gemeten T_max(de maximum temperaturen) van de Maan. Het is de verhouding tussen beiden die het bufferend vermogen b bepaalt. Dat is het vermogen van de Maan om de zonne-energie die uitsluitend op de dagkant valt in de vorm van kortgolvige instraling  indirect door te geven in de vorm van energie voor de langgolvige uitstraling aan de nachtkant. Voor de Maan is deze b heel laag. Het ligt maar iets boven de nul. Voor de Aarde is deze waarde juist heel hoog. Het ligt dicht tegen de maximale waarde van 0,5 aan. Dit is een van de redenen waarom de verschillen tussen de Aarde en de Maan zo groot zijn als het om de temperatuur karakteristieken gaat.

We hebben nu alle formules die nodig zijn om tot een verklaring te komen van de temperatuur karakteristieken van de Maan. We hebben een model. Laten we dit model op de pijnbank leggen en kijken of het beter werkt dan het gangbare model. Laat ons het model eerst eens grafisch weer geven. Dan is het iets inzichtelijk;

Figuur 4 Uitgebreid model voor de Maan

Toetsen van het nieuwe model voor de Maan

We beperken ons eerst tot de Maan en kijken of in hoe ver het model voldoet. Dan pas gaan we het model verder uitbreiden voor de Aarde. De formules V tot en met VIII geven de evenwicht voorwaarden aan. Dit kunnen we combineren tot de volgende twee formules;

T_dag = ⁴√ ( (1- α) * (1-b) * 0,5 * TSI) /( ε * σ) )

T_nacht = ⁴√ ( (1- α) * b * 0,5 * TSI) /( ε * σ) )

TSI = 1368 W/m²

α = albedo = 0,07

ε = emissiviteit = 0,96

b =bufferend vermogen = 0,0049

σ = Stefan-Boltzmann constante = 5,6704 *10^-8

Hieruit volgt de temperatuur karakteristieken zoals verklaard door het uitgebreid model. In tabel vorm ziet dit er als volgt uit;

Tabel 4 Temperatuur Maan verklaard versus gemeten

Dit ziet er opeens veel beter uit. De verschillen zijn miniem. Het is dus wel degelijk mogelijk om de temperatuur karakteristieken te verklaren. Althans voor de Maan. De heren Stefan en Boltzmann hebben wel degelijk goed werk af geleverd en daar heb ik ook nooit aan getwijfeld. Je moet er alleen rekening mee houden dat hemellichamen als de Aarde en de Maan een bijzondere eigenschap hebben dat de zonne-energie niet gelijkmatig verdeeld kan worden over het hele oppervlakte. De zonne-energie wordt uitsluitend aan de dagkant gegeven. De nachtkant kan een deel van de energie alleen op een indirecte manier verkrijgen. In het geval van de Maan uitsluitend omdat de Maan ten opzichte van de Zon om haar as draait iedere keer als ze om de Aarde draait. Als je het model hiervoor aanpast voldoet het prima. De resultaten zijn voldoende om het ook voor de Aarde te willen uit testen. Maar dan zullen we het model opnieuw moeten uitbreiden. We dienen er nu in elk geval een atmosfeer aan toe te voegen. Dit gaan we in de volgende paragraaf proberen.

Toevoegen van een atmosfeer

Om het model ook geschikt te maken voor de Aarde dienen we er een atmosfeer aan toe te voegen. Ik weet niet of er nog veel meer bij hoeft maar zonder atmosfeer zal het niet lukken. De Aarde heeft in tegenstelling tot de Maan een atmosfeer en daardoor veranderen een paar dingen. Dit kan men misschien het beste proberen voor te stellen door de energie balans van Kiehl en Trenberth er aan toe te voegen;

Figuur 5 De energie balans van Kiehl en Trenberth

Toevoegen van een atmosfeer betekent meer albedo. Die van de atmosfeer komt er bij. Tevens zal een atmosfeer een deel van de invallende zonne-energie absorberen. Minder zonne-energie zal het oppervlak bereiken. Dit werkt door naar de dagkant maar zoals de formule voor de energie voor de nachtkant laat zien, werkt dit ook door naar de nachtkant. Dit zou men het zonneweringseffect kunnen noemen. Toevoegen van de atmosfeer betekent ook dat het aardoppervlakte minder energie kan uitstralen naar het heelal. Een deel van deze uitgestraalde energie zal door de atmosfeer worden geabsorbeerd. Hier door zal er minder energie naar het heelal worden uitgestraald. Hierdoor warmt het op. Dit noemt men het broeikaseffect. Beide genoemde effecten heffen elkaar deels op waardoor het broeikaseffect netto niet zo heel veel is. Iedere atmosfeer zal de boven genoemde effecten vertonen. De mate ervan hangt af van eigenschappen van een atmosfeer waaronder de samenstelling ervan. Laat ons de extra termen aan het model toevoegen.

Toevoegen van de extra albedo is eenvoudig. Er komen een paar extra termen bij namelijk ;   (1-α_atmosfeer) en (1-α_oppervlakte) . Beide termen kan men afleiden uit de energie balans. De α_atmosfeer=77/342=0,225 en de  α_oppervlakte = 30/198=0,152. De ε_{oppervlakte-heelal} is de verhouding van wat het oppervlakte van de Aarde daadwerkelijk uitstraalt naar het heelal ten opzichte van wat een black body bij de zelfde temperatuur zou kunnen uitstralen. De temperatuur van het oppervlakte is 15°C = 288 K. Bij 288 K straalt een blackbody 390 W/m² uit. Het oppervlakte van de Aarde weet uiteindelijk na veel omwegen en terugkoppelingen een hoeveelheid van 235  W/m² uit te stralen. Hieruit volgt dat de ε_{oppervlakte-heelal} = 235/390=0,603. Het model voor de Aarde ziet er dan als volgt uit;

E_dag=(1-α_atmosfeer)(1-α_oppervlakte)(1-b)*0,5*TSI

E_nacht=(1-α_atmosfeer)(1-α_oppervlakte)b*0,5*TSI

T-dag=⁴√ ((1-α_atmosfeer)(1-α_oppervlakte)(1-b)*0,5*TSI)/( ε_{oppervlakte-heelal}*σ) )

T-nacht=⁴√ ((1-α_atmosfeer)(1-α_oppervlakte)b*0,5*TSI)/( ε_{oppervlakte-heelal}*σ) )

Met     TSI = 1368 W/m²

α_atmosfeer= 0,225

α_oppervlakte)=0,152

ε_{oppervlakte-heelal}*= 0,603

b =bufferend vermogen = 0,4861

σ = Stefan-Boltzmann constante = 5,6704 *10^-8

Als we het model uitrekenen voor de nu bekende variabelen krijgen we de volgende temperatuur karakteristieken voor de Aarde. In tabel vorm ziet dit er als volgt uit;

Tabel 5 Temperatuur Aarde verklaard versus gemeten

Het klopt als een zwerende vinger. Mijn model is in staat gebleken om de heel grote verschillen in de temperatuur karakteristieken van Aarde en Maan te verklaren. Hier voor was het nodig om een extra variabele toe te voege,namelijk het bufferend vermogen b dat aangeeft hoe goed de Aarde of de Maan in staat is om zonne-energie van de dagkant door te geven naar de nachtkant. De Aarde kan dit heel goed zodat het verschil tussen dag en nacht temperatuur klein is. De Maan kan dit niet goed vandaar het grote verschil. Maar dit verklaard ook waarom de gemiddelde temperatuur op de Maan veel kleiner is dan die van de Aarde. Dit komt omdat het verband tussen stralingsenergie en temperatuur nu eenmaal niet lineair is. Was dit wel zo dan zou het niks uitmaken als je de energie gelijkmatig zou verdelen over het oppervlak. Maar het is nu eenmaal niet zo. Met de extra variabele is het gelukt om de temperatuur karakteristiek van de Maan goed te verklaren. Voor de Aarde was het nodig om de atmosfeer niet alleen te modelleren voor de albedo maar ook voor de emissiviteit. Door deze omissie recht te zetten bleek het model ook in staat om de temperatuur karakteristieke voor de Aarde te verklaren. Het karwei is volbracht. Hier ben ik nu zo’n 3 jaar mee bezig geweest. De uitgangspunten had ik direct al. Het model uitgewerkt door de heren Stefan en Boltzmann werkt wel degelijk en de zonne-energie wordt niet gelijkmatig verdeelt over het oppervlakte van de Aarde of Maan. Twee problemen vroegen om een oplossing van het vraagstuk namelijk waar krijgt de nachtkant de energie vandaan en hoe het model te bouwen. Dat laatste was beslist niet eenvoudig maar is uiteindelijk gelukt.  Er resten nog twee paragrafen. Een gaat over een stresstest om te zien hoeveel de variabele mogen veranderen om onder constanthouding van de overige variabelen de temperatuur met een graad Kelvin te laten stijgen of dalen. De laatste is een poging om te kijken hoe dit model omgaat met de klimaatverandering.

Stresstest model plus minus 1 K

Bij deze test wordt gekeken in hoeverre de variabelen kunnen veranderen als je onder constanthouding van de overige variabelen de gemiddelde temperatuur 1 K laat stijgen of dalen. Deze testen zijn zowel voor de Maan als voor de Aarde verricht. De resultaten zijn in tabel vorm weer gegeven;

Tabel 6 Stresstest model voor de Maandag

Tabel 7 Stresstest model voor de Aarde

Het lijkt er op dat de temperatuurgevoeligheid voor de Aarde groter is dan voor de Maan. De stresstest voor de Aarde is extra interessant omdat er op Aarde een opwarming gaande is van ca. 1 K over de afgelopen 100 jaar. Dit roept natuurlijk de vraag op in hoeverre het door mij ontwikkelde model iets zinnigs kan vertellen over deze klimaatverandering. Hier over gaat de volgende paragraaf.

Wat kan het model over de klimaatverandering vertellen

De afgelopen 100 jaar is de temperatuur van de Aarde met circa 1 °C  toegenomen van ca. 14 °C naar 15 °C. Om dit mogelijk te maken heb je extra energie nodig. Bij een emissiviteit van 1 straalt het oppervlak   van  de Aarde bij 14 °C ca. 385 W/m² uit en bij 15  °C ca. 390 W/m² . Dit geeft een verschil van 5 W/m². Dit is het verschil in de extra energie die nodig is en die ergens vandaan moet komen. Immers de Eerste hoofdwet van de Thermodynamica is heel simpel; “Von nix kommt nix.”

Men gaat er vanuit dat de opwarming veroorzaakt wordt door het toenemend verbruik van fossiele brandstof. Chemisch ziet dit er als volgt uit;

C + O₂ → CO₂ + energie

Je vervangt in dit proces 1 molecule zuurstof O₂ door 1 molecuul kooldioxide CO₂. CO₂ heeft veel meer absorptielijnen dan O₂. Dit geldt zowel voor de invallende zonne-energie in het SWR gebied als wel voor door de Aarde uitstralende LWR gebied. Zie de tabel;

Tabel 8 Aantal absorptielijnen in SWR en LWR

Het gevolg van deze vervanging is dat de atmosfeer meer energie zal absorberen. Dit zal zowel in het SWR gebied als wel in het LWR gebied gebeuren. Uit de energiebalans van Kiehl en Trenberth (figuur 5) kun je opmaken dat de atmosfeer 67 W/m² van de invallende zonne-energie absorbeert. Ook kun je afleiden dat van de 390 W/m² die het aardoppervlak uitstraalt uiteindelijk maar 235 W/m² ontsnapt naar het heelal. Dat wil zeggen dat 390-235=155 W/m² geabsorbeerd zal worden door de atmosfeer. Als we de extra 5 W/m² volstrekt willekeurig verdelen over beide gebieden dan geef ik 2 W/m² extra aan absorptie in het SWR gebied en 3 W/m² extra absorptie aan het LWR gebied. We gaan nu kijken wat het effect zal zijn op de variabelen van ons model. Het blijkt dat we ons kunnen beperken tot slechts 2 variabelen namelijk de albedo α voor het SWR gebeuren en de emissiviteit ε in het LWR gebeuren. De zonne-energie TSI valt af want deze variabele is extern bepaald en ook het bufferend vermogen b valt af want zoals uit de stresstest voor de Aarde blijkt kan een toename van b de gemiddelde temperatuur van het aardoppervlakte niet meer doen toenemen. Hoe werkt de extra absorptie door in de variabelen α en ε? We dienen hier de pre-industriële(Pre-IR) situatie te vergelijken met huidige situatie(IR).

We beginnen met de wijziging in de albedo. In de Pre-IR situatie is de TSI hetzelfde. In de energiebalans van Kiehl en Trenberth zie je dat de zon 342  W/m² instraalt. Daarvan wordt 77 W/m² gereflecteerd door de atmosfeer. In de Pre-IR situatie wordt vervolgens 65 W/m² geabsorbeerd door de atmosfeer. Er blijft dus 200 W/m² over. Hiervan word dan door het oppervlak 0,1515*200=30,3 W/m² gereflecteerd door het oppervlakte. De totale reflectie is dan 77 + 30,3 = 107,3 W/m² . De totale albedo α = 107,3/342=0,3137. In de IR situatie is uit de energiebalans af te leiden dat de totale albedo α = 107/342=0,3129. De totale albedo is verminderd en dat leidt tot opwarming. Uit het model kan je dan afleiden dat de extra opwarming 0,084 K bedraagt. Dat komt er extra bij door verminderde albedo veroorzaakt door extra absorptie in het SWR-gebied.

Hierna komt de wijziging van de emissiviteit aan de order. In de Pre-IR situatie is de temperatuur van het oppervlakte 14 °C = 287 K. Bij deze temperatuur straalt het oppervlak 385 W/m² uit. Hiervan wordt 152 W/m² geabsorbeerd door de atmosfeer. Dat wil zeggen dat dus 233 W/m² weet te ontsnappen naar het heelal. De Pre-IR emissiviteit ε is dan 233/385=0,605. De emissiviteit tegenwoordig is 235/390=0,603. Een lagere emissiviteit betekent opwarming en uit het model kan men afleiden dat de extra opwarming 0,244 K bedraagt. De TSI en de b voegen niets toe in termen van extra opwarming.

Als we beide effecten, verminderde albedo en verminderde emissiviteit bij elkaar optellen komen we maar tot een opwarming van 0,322 K. Om tot een opwarming van 1 K te geraken komen we nog 0,678 K te kort. Dit moet ergens vandaan komen. De enige voor de hand liggende verklaring is een toename van de backradiation. Dit noemt men ook wel het versterkt broeikaseffect. Deze geeft de hoogste bijdrage aan de opwarming van de Aarde namelijk 0,678. Voor zover de klimaatverandering. Ook met behulp van mijn model komt men tot de conclusie dat er sprake is van een versterkt broeikaseffect. Het voornaamste verschil met het standaard model is dat bij mijn model je ook opwarming krijgt door extra absorptie in het SWR gebied. Hier heeft het model toegevoegde waarde.

Het verschil tussen de T_dag en T_nacht neemt toe met de opwarming. Alleen een toename van b kan het verschil kleiner maken. Deze uitkomst van de simulaties kan ik al vast verklappen. Als men alle variabelen zo rangschikt dat ze tot een toename van de gemiddelde temperatuur van het oppervlakte leiden krijg je de volgende en laatste tabel van dit verslag;

Tabel 10 Uitwerking variabelen op temperatuur karakteristieken

Het blijkt dat men ook met mijn model zinnige uitspraken kan doen over de opwarming van de Aarde. Maar daar was mijn model niet voor bedoeld. Mijn primaire doel was uit te zoeken of het mogelijk is om de grote verschillen in temperatuur karakteristieken van de Aarde en Maan kan verklaren uitgaand van het Stefan en Boltzmann model. Dit blijkt te kunnen. Het is gelukt. Het is volbracht. Hiermee is bijna een eind gekomen aan een onderzoek dat drie jaar geleden begon met mijn eerste artikel. Wat nog volgt is een bijlage met simulaties voor de variabelen van mijn model en hoe ze uitpakken op de temperatuur karakteristieken. Het was leuk om dit onderzoek te doen. Het was ook leerzaam. De beste manier om dingen uit te zoeken is zelfstudie en zelf uit te proberen. Je ziet vanzelf waar het schip strandt.

Conclusies

Het is mogelijk om de temperatuur karakteristieken van Aarde en Maan en vooral de grote verschillen te verklaren. Daar voor is het nodig om het model van Stefan en Boltzmann uit te breiden met een extra term b het bufferend vermogen. Dat is het vermogen om de zonne-energie die uitsluitend op de dagkant valt door te bufferen naar de nachtkant. De Aarde kan dit heel goed maar de Maan heel slecht. Vandaar het grote verschil tussen T_dag en T_nacht voor de Maan. Door het lage bufferend vermogen b is gemiddelde temperatuur van de Maan erg laag vergeleken met de Aarde. Het bufferend vermogen kan men afleiden uit de verhouding tussen T_nacht en T_dag zoals weergeven in formule XIV. Een andere aanpassing is het toevoegen van een atmosfeer aan het model. De Aarde heeft nu eenmaal een atmosfeer en daardoor veranderen een aantal variabelen. Het is vreemd om te zien dat men het gangbare model wel heeft aangepast voor de weerkaatsing ook wel albedo genoemd maar niet voor de emissiviteit. Dat is omissie en die is recht gezet. Nu voldoet het model ook voor de Aarde. Het model is in staat om de temperatuur karakteristieken tot op een graad K te verklaren. Dit is heel goed en dit is ook nodig om bijvoorbeeld te willen verklaren hoe de klimaatverandering van de Aarde tot stand kwam. Het blijkt een kwestie te zijn van zowel meer absorptie van LWR straling die het aardoppervlakte uitstraalt als wel meer absorptie  van instralende SWR van de zon. Beide processen zorgen er voor dat er meer energie door de atmosfeer word geabsorbeerd die uiteindelijk zorgt voor opwarming van het oppervlakte. Maar de grootste bijdrage voor de opwarming komt voor rekening van de back-radiation. Dit noemt men ook wel het versterkt broeikaseffect. Hiermee kan men de opwarming van 1 K in 100 jaar tijd goed verklaren. Maar dit was niet het doel van het onderzoek. Doel was het verklaren van de temperatuur karakteristieken van de Aarde en Maan en dat is gelukt. Wat nu nog rest is het toevoegen van een bijlage met simulaties van de variabelen en hun uitwerking op de temperatuur karakteristieken.

 

Literatuurlijst

Earth Observatory, Feature Articles, Climate and Earth’s Energy Budget

Earth Observatory, Feature Articles, Global Warming

Kiehl & Trenberth, Earth’s Annual Global Mean Energy Budget(pdf)

Wikipedia, Zwarte straler

Wikipedia, Constante van Stefan-Boltzmann

Wikipedia, Jožef Štefan

Wikipedia, Ludwig Boltzmann

Wikipedia, Zonneconstante

Wikipedia, Ockhams scheermes

Wikipedia, Emissivity

Wikipedia, Effective temperature

Why Earth’s surface is so much warmer then the Moon’s

ASTER Global Emissivity Database

Recent geographic convergence in diurnal and annual temperature cycling flattens global thermal patterns

Watts up with that, The moon is a cold mistress

The science of doom, Lunar madness and physics basics

Tallbloke’s talkshop, Emperical results from Diviner confirm S_B Law was misplaced to Moon

Roy Spencer, Errors in estimating Earth’s no atmosphere average temperature

I Love my carbondioxide.com, A greenhouse effect on the Moon(pdf)

Lunar enginering handbook, Chapter 7 The Moon facts

Moon facts sheet

Lunar Reconnaissance Orbiter, LRO

LRO Diviner, Lunar radiometer experiment

Wikipedia, LRO

Had Fourier ongelijk, een poging tot eerherstel

De Maan, haar temperatuur en de karakteristieken